Задание 51ABBB: Треугольник

1. Обозначим T точку пересечения общей внутренней касательной с отрезком PQ, а U и V — точки касания с первой и второй окружностями. Радиусы PU и QV перпендикулярны общей касательной.

2. Треугольники PUT и QVT прямоугольные. Углы при T равны как вертикальные, поэтому эти треугольники подобны по двум углам.

3. Из подобия PUQV = PTQT = ab. Значит, радиусы окружностей относятся как a:b. Диаметры вдвое больше радиусов; умножение обеих величин на 2 не меняет их отношения. Следовательно, диаметры относятся как a:b.

Проверка: сопоставлены радиусы как катеты напротив равных углов и расстояния от T до центров как гипотенузы. Отношение диаметров получено в том же порядке, что и отношение частей отрезка центров.

Ответ: Доказано.