Задание 51A343: Многоугольники

1. Обозначим большее и меньшее основания через a и b, боковую сторону через c, высоту через h. Для описанной около окружности трапеции a + b = 2c. Поэтому P = a + b + 2c = 4c.

2. c = 2004 = 50, a + b = 100. Площадь S = a + b2h = ch, откуда h = 200050 = 40.

3. Опустим высоты из концов меньшего основания. Проекция боковой стороны x = a − b2. По теореме Пифагора x = √c² − h² = √2500 − 1600 = 30. Тогда b = c − x = 20, a = c + x = 80.

4. Пусть O — пересечение диагоналей, y — расстояние от O до меньшего основания. Треугольники с вершиной O и основаниями a и b подобны: их высоты относятся как a:b. Поэтому yh − y = ba, откуда y = hba + b.

5. y = 40 · 20100 = 8.

Проверка: основания 80 и 20 вместе с двумя сторонами 50 дают периметр 200; полусумма оснований, умноженная на высоту 40, даёт площадь 2000.

Ответ: 8.