Задание 50AC99: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
2x²+4y²=24;
4x²+8y²=24x.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. Левая часть второго уравнения равна левой части первого, умноженной на 2. Умножим всё первое равенство на 2 и вычтем его из второго. Квадратные члены сократятся:
−24x + 48 = 0.
Отсюда −24x = −48, поэтому x = −48−24 = 2.

3. Подставим x = 2 в первое уравнение:
2 · (2)² + 4y² = 24.
4y² = 24 − 8 = 16.
y² = 4 = 2², поэтому y = −2 или y = 2. Оба знака подходят.

4. Проверка обеих пар в исходной системе:
Пара (2; −2):
2(2)²+4(−2)² = 24, 24 = 24;
4(2)²+8(−2)² = 48, 24(2) = 48.
Пара (2; 2):
2(2)²+4(2)² = 24, 24 = 24;
4(2)²+8(2)² = 48, 24(2) = 48.
Вычитание кратного первого уравнения из второго сохраняет равносильность. Значение x единственно, а для него найдены все возможные y.

Ответ: (2; −2); (2; 2).