Задание 4FBE10: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=12(|x3−3x|+x3+3x).

Область определения: x ≠ 0. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Обозначим u = x3, v = 3x. Равенство |u − v| + u + v2 = max(u; v) следует из двух случаев: при u ≥ v модуль равен u − v, при u < v — v − u.

2. Разность u − v = x² − 93x меняет знак в точках −3, 0, 3. Поэтому строим следующие части:

y = 3x при x < −3.

y = 13x при −3 ≤ x < 0.

y = 3x при 0 < x < 3.

y = 13x при x ≥ 3.

На отрицательной полуоси значение −1 достигается только при x = −3. Каждое m из (−1; 0) достигается дважды: на прямой и на гиперболе. Значений m < −1 и m = 0 нет.

На положительной полуоси значение 1 достигается только при x = 3, каждое m > 1 — дважды. Значений из (0; 1) нет. Следовательно, ровно одно пересечение получается при m = −1 или m = 1.

Проверка: при x = ±3 обе сравниваемые величины равны ±1; модуль их разности равен нулю. Точки допустимы и являются общими концами соседних частей, каждая считается один раз.

Ответ: m ∈ {−1; 1}.