Задание 4E1FB9: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x + 1) · (x − 6) ≤ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x + 1) · (x − 6) − (0) ≤ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 6) · (x + 1); требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −1, 6.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −1): при x = −2 получаем f(x) = 8, знак положителен.
(−1; 6): при x = 0 получаем f(x) = −6, знак отрицателен.
(6; +∞): при x = 7 получаем f(x) = 8, знак положителен.
x = −1 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 6 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ [−1; 6].
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству [−1; 6] соответствует вариант 1.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: 1.