Задание 4B9B29: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(5⁻¹¹)⁻¹ = 5¹¹.
(5¹⁰)⁻¹ = 5⁻¹⁰.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 5: 11 − 10 = 1.
После сокращения получаем 5.
5 = 5.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 48828125, знаменатель — 9765625. Их отношение: 488281259765625 = 5.
Получено то же значение 5. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 5.