Задание 478148: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение x⁴=(x−2)² определено при всех действительных x. Левая часть — квадрат x², правая — квадрат выражения x − 2. Используем разность квадратов, чтобы учесть оба возможных знака.

2. Перенесём правую часть влево и разложим разность квадратов:
(x² − (x − 2)) · (x² + (x − 2)) = 0.
После раскрытия скобок внутри множителей:
(x² − x + 2) · (x² + x − 2) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3. Решим оба квадратных уравнения:
x² − x + 2 = 0.
D = (−1)² − 4 · (1) · (2) = −7.
Дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет.

x² + x − 2 = 0.
D = (1)² − 4 · (1) · (−2) = 9.
√9 = 3. По формуле корней x = −(1) ± 32 · (1).
Получаем x = −2, x = 1.

4. Соберём все действительные корни: −2, 1. Проверка в исходном уравнении:
x = −2: слева (−2)⁴ = 16; справа ((−2)−2)² = 16.
x = 1: слева (1)⁴ = 1; справа ((1)−2)² = 1.
Разложение на множители равносильно исходному равенству, а оба множителя исследованы полностью. Поэтому других корней нет.

Ответ: −2; 1.