Задание 43A519: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=(0,25x²+x) · |x|x+4.

Область определения: x ≠ −4. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Выносим в числителе общий множитель: квадратный многочлен равен 14x(x + 4). После сокращения множителя (x + 4) получаем y = 14x|x| при x ≠ −4.

2. При x < 0 имеем |x| = −x, поэтому y = −14x²; при x ≥ 0 получаем y = 14x². Обе части строго возрастают и соединяются в начале координат. Полный график принимает каждое действительное значение ровно один раз.

Исключённому аргументу x = −4 соответствует значение y = 14 · (−4) · |−4| = −4. На графике эту точку выкалываем. Другой точки с такой же ординатой нет из-за строгого возрастания.

3. Горизонтальная прямая не пересекает исходный график только при m = −4. При любом другом m единственная точка полного графика сохраняется.

Проверка: пропущенное значение получается только при запрещённом x = −4, а точка (0; 0) остаётся в области определения.

Ответ: m ∈ {−4}.