Задание 418268: Многоугольники

1. Обозначим большее и меньшее основания через a и b, боковую сторону через c, высоту через h. Для описанной около окружности трапеции a + b = 2c. Поэтому P = a + b + 2c = 4c.

2. c = 804 = 20, a + b = 40. Площадь S = a + b2h = ch, откуда h = 32020 = 16.

3. Опустим высоты из концов меньшего основания. Проекция боковой стороны x = a − b2. По теореме Пифагора x = √c² − h² = √400 − 256 = 12. Тогда b = c − x = 8, a = c + x = 32.

4. Пусть O — пересечение диагоналей, y — расстояние от O до меньшего основания. Треугольники с вершиной O и основаниями a и b подобны: их высоты относятся как a:b. Поэтому yh − y = ba, откуда y = hba + b.

5. y = 16 · 840 = 3,2.

Проверка: основания 32 и 8 вместе с двумя сторонами 20 дают периметр 80; полусумма оснований, умноженная на высоту 16, даёт площадь 320.

Ответ: 3,2.