Задание 3EE8A1: Окружность и круг

1. Пусть O — пересечение диагоналей ромба. Диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Кроме того, диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому O является центром вписанной окружности.

2. OC = AC2 = 15. В прямоугольном треугольнике BOC имеем tg∠BCA = OBOC. Следовательно, OB = 15 · 43 = 20.

3. Сторона BC = √OC² + OB² = √225 + 400 = 25. Площадь ромба S = AC · BD2 = 2 · OC · OB = 600.

4. Соединяя центр с вершинами, получаем четыре треугольника общей высоты r. Поэтому S = pr, где p — полупериметр ромба, равный 2BC.

5. r = S2BC = 60050 = 12.

Проверка: четыре треугольника площадью 25 · 122 каждый вместе дают площадь ромба 600.

Ответ: 12.