Задание 3D4F8C: Треугольник

1. Точка M равноудалена от всех вершин, значит она является центром окружности, проходящей через A, B, C, D. Так как M — середина AD, сторона AD является диаметром этой окружности.

2. Углы ABD и ACD опираются на диаметр, поэтому равны 90°. Диагональ AC проходит внутри угла BCD выпуклого четырёхугольника, откуда ∠BCA = ∠BCD − ∠ACD.

3. Получаем ∠BCA = 96° − 90° = 6°. В треугольнике ABC угол BAC = 180° − 129° − 6° = 45°.

4. По расширенной теореме синусов BC = 2R sin∠BAC. Диаметр AD = 2R, поэтому AD = BCsin∠BAC = 8√22 = 8√2.

Проверка: AD · sin 45° = 8√2 · √22 = 8 = BC; выбранная окружность имеет центр в середине AD, как требует условие.

Ответ: 8√2.