Задание 39A131: Треугольник

1. Рассмотрим окружность с диаметром BC. Угол BB₁C прямой, так как BB₁ — высота; угол BC₁C тоже прямой, так как CC₁ — высота.

2. Точка, из которой диаметр виден под прямым углом, лежит на окружности. Поэтому точки B, C, B₁ и C₁ принадлежат одной окружности с диаметром BC.

3. Углы BB₁C₁ и BCC₁ являются вписанными и опираются на одну хорду BC₁. Их вершины расположены по одну сторону этой хорды: основания высот находятся на сторонах остроугольного треугольника. Поэтому вписанные углы равны, что и требовалось доказать.

Проверка: в построенной окружности обе пары лучей проходят через одни и те же концы хорды BC₁; условие об остроугольности обеспечивает нужное расположение оснований высот.

Ответ: Доказано.