Задание 3798FF: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
6 = 2 · 3.
66 = 2 · 3 · 11.
(66¹⁰)⁻¹ = 66⁻¹⁰.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 11: 10 − 10 = 0.
Для основания 2: 12 − 10 = 2.
Для основания 3: 12 − 10 = 2.
После сокращения получаем 2² · 3².
2² · 3² = 36.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 56460127712788647936, знаменатель — 1568336880910795776. Их отношение: 564601277127886479361568336880910795776 = 36.
Получено то же значение 36. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 36.