Задание 32C5AB: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=2|x−5|−x²+11x−30.

Область определения: все действительные числа.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = −x² + 9x − 20 при x < 5. Выделяем квадрат: y = −(x − 92)² + 14. Вершина полной параболы: (92; 14), ветви направлены вниз. Для уровня y = m кандидаты x = 92 ± √−m + 14; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (5; 0) выколота.

Ветвь 2: y = −x² + 13x − 40 при x ≥ 5. Выделяем квадрат: y = −(x − 132)² + 94. Вершина полной параболы: (132; 94), ветви направлены вниз. Для уровня y = m кандидаты x = 132 ± √−m + 94; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (5; 0) включена.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это 0, 14, 94. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; 0): по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

m = 0: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (0; 14): по ветвям 2 + 2 = 4 точки.

m = 14: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (14; 94): по ветвям 0 + 2 = 2 точки.

m = 94: по ветвям 0 + 1 = 1 точка.

m ∈ (94; +∞): по ветвям 0 + 0 = 0 точек.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ {0; 14}.