Задание 2EBA9A: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
10 = 2 · 5.
70 = 2 · 5 · 7.
(70⁶)⁻¹ = 70⁻⁶.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: 6 − 6 = 0.
Для основания 5: 6 − 6 = 0.
Для основания 7: 8 − 6 = 2.
После сокращения получаем 7².
7² = 49.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 5764801000000, знаменатель — 117649000000. Их отношение: 5764801000000117649000000 = 49.
Получено то же значение 49. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 49.