Задание 2E135D: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=|x²−6x+5|.

Область определения: все действительные числа.

2. Рассмотрим квадратный трёхчлен q(x) = x² − 6x + 5. Его корни: 1 и 5, а вершина параболы — (3; −4). Между корнями q(x) < 0, вне этого промежутка q(x) ≥ 0.

График модуля получается отражением отрицательной части параболы относительно оси Ox. Поэтому между корнями строим y = −x² + 6x − 5, а вне — y = x² − 6x + 5. Точки на оси Ox сохраняются.

3. Горизонтальная прямая y = m пересекает график в решениях |q(x)| = m. При m < 0 решений нет; при m ≥ 0 это уравнения q(x) = m и q(x) = −m. Каждое квадратное уравнение имеет не более двух корней, поэтому всего точек не больше четырёх.

Оценка достигается при любом 0 < m < 4, например при m = 2. Уравнение q(x) = m даёт две точки вне промежутка между корнями, а q(x) = −m — две точки внутри. Все четыре точки различны.

Проверка: выбранный уровень 2 строго между нулём и высотой отражённой вершины 4. Он пересекает каждую из четырёх монотонных частей ровно один раз; значит максимум равен 4.

Ответ: 4.