Задание 27B52F: Магнитное поле

1. Система отсчёта лабораторная. В каждой точке ось n направим к подвесу O, τ — по движению. На тело действуют натяжение T по n, тяжесть mg вниз и магнитная сила F_Л = qυB. По рисунку внизу скорость направлена вправо, B — к наблюдателю. Для положительного q сила Лоренца направлена от центра окружности; это сохраняется на всём обороте.
2. Пусть θ — угол нити от её нижнего вертикального положения. Проекции второго закона Ньютона:
mυ²L = T − mg cos θ − qυB,
ma_τ = −mg sin θ.
Натяжение и магнитная сила перпендикулярны скорости, поэтому работы не совершают. Между нижней и верхней точками сохраняется механическая энергия:
mυ_н²2 = mυ_в²2 + 2mgL,
υ_в² = υ_н² − 4gL.
3. Из нормальной проекции T = mυ²÷L + mg cos θ + qυB. Все три слагаемых принимают наименьшие значения наверху: там минимальны υ и cos θ. Значит, условие натянутости нити во всём обороте достаточно проверить именно там. При минимальной нижней скорости T_в = 0, поэтому
mυ_в²L = mg − qυ_в · B.
Подстановка выражения верхней скорости даёт
B = m(g − υ_в²÷L)qυ_в = m(5gL − υ_н²)qL√υ_н² − 4gL.
4. Проверка. Для конечного неотрицательного B должно выполняться 4gL < υ_н² ≤ 5gL. При B = 0 получается известный предел υ_н = √5gL. При увеличении B сила Лоренца снаружи уменьшает необходимую верхнюю скорость; нижняя стремится к √4gL, но для конечного поля не достигает её. В предельном верхнем положении нить лишь на мгновение имеет нулевое натяжение.

Ответ: B = m(5gL − υ_н²)qL√υ_н² − 4gL.