Задание 27B06C: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение (x+4)⁴−6(x+4)²−7=0 является многочленным, поэтому допустимы все действительные x. В нём повторяется квадрат выражения x + 4; введём новую переменную t = (x + 4)². Обязательно учитываем t ≥ 0.

2. Четвёртая степень равна квадрату новой переменной: (x + 4)⁴ = t². Получаем квадратное уравнение относительно t:
t² − 6t − 7 = 0.
D = (−6)² − 4 · (1) · (−7) = 64.
√64 = 8. По формуле корней t = −(−6) ± 82 · (1).
Получаем t = −1, t = 7.

3. Значение t = −1 отрицательно и не может быть квадратом действительного числа. Остаётся t = 7, то есть (x + 4)² = 7. Следовательно, x + 4 = −√7 или x + 4 = √7.
Переносим постоянное слагаемое и получаем:
x = −4 − √7 или x = −4 + √7.

4. Проверка обоих значений: при каждом из них (x + 4)² = 7, а (x + 4)⁴ = 49. Левая часть исходного уравнения равна 49 + (−6) · 7 + (−7) = 0. Оба корня действительные и различны. Других не существует: отрицательный t невозможен, а положительный квадрат даёт ровно два значения x.

Ответ: −4 − √7; −4 + √7.