Задание 26684F: Треугольник

1. Обозначим BD = x, DC = y, HD = z. Точка M лежит на полуокружности с диаметром BC, поэтому ∠BMC = 90°. Отрезок MD — высота прямоугольного треугольника BMC к гипотенузе BC.

2. По подобию прямоугольных треугольников BMD и MCD получаем MD² = BD · DC, то есть xy = 36.

3. Так как H — точка пересечения высот, BH перпендикулярен AC. Треугольники BDH и ADC подобны: оба прямоугольные, а ∠DBH = ∠DAC как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому HDDC = BDAD, откуда HD = BD · DCAD.

4. Получаем HD = 369 = 4. В остроугольном треугольнике H лежит между A и D, поэтому AH = AD − HD = 9 − 4 = 5.

Проверка: AD · HD = 9 · 4 = 36 = MD², а AH + HD = 9.

Ответ: 5.