Задание 23E631: Многоугольники

1. Обозначим большее и меньшее основания через a и b, боковую сторону через c, высоту через h. Для описанной около окружности трапеции a + b = 2c. Поэтому P = a + b + 2c = 4c.

2. c = 1604 = 40, a + b = 80. Площадь S = a + b2h = ch, откуда h = 128040 = 32.

3. Опустим высоты из концов меньшего основания. Проекция боковой стороны x = a − b2. По теореме Пифагора x = √c² − h² = √1600 − 1024 = 24. Тогда b = c − x = 16, a = c + x = 64.

4. Пусть O — пересечение диагоналей, y — расстояние от O до меньшего основания. Треугольники с вершиной O и основаниями a и b подобны: их высоты относятся как a:b. Поэтому yh − y = ba, откуда y = hba + b.

5. y = 32 · 1680 = 6,4.

Проверка: основания 64 и 16 вместе с двумя сторонами 40 дают периметр 160; полусумма оснований, умноженная на высоту 32, даёт площадь 1280.

Ответ: 6,4.