Задание 1C7299: Окружность и круг

1. Продлим боковые стороны AB и DC до пересечения в точке T за меньшим основанием BC. Сумма углов при основании AD равна 90°, поэтому в треугольнике ATD угол T прямой: TA ⟂ TD.

2. Из BC ∥ AD следует подобие треугольников TBC и TAD. Поэтому TBTA = BCAD = 1133. Кроме того, TA − TB = AB = 20.

3. Отсюда TA = AB · ADAD − BC = 30, TB = TA − AB = 10.

4. Пусть K — центр искомой окружности, H — середина хорды AB. Прямая KH перпендикулярна AB. Поскольку TA перпендикулярна TD, прямая KH параллельна TD, и расстояние от K до прямой CD равно TH. При касании это расстояние равно радиусу R.

5. Точка B лежит между T и A, поэтому R = TH = TA + TB2 = 30 + 102 = 20.

Проверка: TA − TB = 20 = AB, и отношение TB:TA совпадает с BC:AD. Кроме того, R² − AH² = 300 = TA · TB положительно, поэтому положение центра и касание возможны.

Ответ: 20.