Задание 154A3F: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение (x−2)⁴−(x−2)²−6=0 является многочленным, поэтому допустимы все действительные x. В нём повторяется квадрат выражения x − 2; введём новую переменную t = (x − 2)². Обязательно учитываем t ≥ 0.

2. Четвёртая степень равна квадрату новой переменной: (x − 2)⁴ = t². Получаем квадратное уравнение относительно t:
t² − t − 6 = 0.
D = (−1)² − 4 · (1) · (−6) = 25.
√25 = 5. По формуле корней t = −(−1) ± 52 · (1).
Получаем t = −2, t = 3.

3. Значение t = −2 отрицательно и не может быть квадратом действительного числа. Остаётся t = 3, то есть (x − 2)² = 3. Следовательно, x − 2 = −√3 или x − 2 = √3.
Переносим постоянное слагаемое и получаем:
x = 2 − √3 или x = 2 + √3.

4. Проверка обоих значений: при каждом из них (x − 2)² = 3, а (x − 2)⁴ = 9. Левая часть исходного уравнения равна 9 + (−1) · 3 + (−6) = 0. Оба корня действительные и различны. Других не существует: отрицательный t невозможен, а положительный квадрат даёт ровно два значения x.

Ответ: 2 − √3; 2 + √3.