Задание 0E0D8F: Механика

Модель. Оба шарика имеют массу m; Земля задаёт инерциальную систему отсчёта. Ось x направлена по горизонтальной составляющей броска, y — вверх; начало высоты на земле. Между стартом и столкновением на каждый шарик действует только mg вниз, поэтому a_y = −g и a_x = 0.

Обозначим момент столкновения через t₁. Вертикальные скорости непосредственно перед ним:
v₁ᵧ = v₀ sinα − gt₁, v₂ᵧ = −gt₁.
Удар кратковременный: импульсом силы тяжести за его время можно пренебречь по сравнению с импульсами взаимодействия. Сохранение вертикальной проекции импульса и горизонтальное направление общей скорости после удара дают:
m(v₀ sinα − gt₁) + m(−gt₁) = 2m · 0.
Следовательно, t₁ = v₀ sinα2g.

Высоту встречи найдём по движению брошенного шарика:
h = v₀ sinα · t₁ − gt₁²2 = 3v₀² sin²α8g.
После удара вертикальная скорость равна нулю, а ускорение остаётся −g: на слипшиеся шарики действует сила тяжести 2mg. Для времени t₂ от удара до земли:
h = gt₂²2, t₂ = √2hg = √3 · v₀ sinα2g.

Спрашивается момент падения относительно общего старта t = 0. Поэтому нужно сложить время до встречи и время последующего падения:
τ = t₁ + t₂ = (1 + √3) · v₀ sinα2g.

Числовые данные отсутствуют. Размерность ответа — время. Проверка: до удара вертикальные скорости равны по модулю и противоположны, поэтому их суммарный импульс нулевой. Подстановка найденного t₂ даёт gt₂² · 2⁻¹ = 3v₀² sin²α · (8g)⁻¹, точно равную высоте встречи. Механическую энергию во время неупругого удара сохранять нельзя.