Задание 0D3070: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=|x| · (x+1)−6x.

Область определения: все действительные числа.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = −x² − 7x при x < 0. Выделяем квадрат: y = −(x + 72)² + 494. Вершина полной параболы: (−72; 494), ветви направлены вниз. Для уровня y = m кандидаты x = −72 ± √−m + 494; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (0; 0) выколота.

Ветвь 2: y = x² − 5x при x ≥ 0. Выделяем квадрат: y = (x − 52)² − 254. Вершина полной параболы: (52; −254), ветви направлены вверх. Для уровня y = m кандидаты x = 52 ± √m + 254; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (0; 0) включена.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это −254, 0, 494. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; −254): по ветвям 1 + 0 = 1 точка.

m = −254: по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (−254; 0): по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m = 0: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (0; 494): по ветвям 2 + 1 = 3 точки.

m = 494: по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (494; +∞): по ветвям 0 + 1 = 1 точка.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ {−254; 494}.