Задание 0B2341: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=x²+3x−4|x+2|+2.

Область определения: все действительные числа.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = x² + 7x + 10 при x < −2. Выделяем квадрат: y = (x + 72)² − 94. Вершина полной параболы: (−72; −94), ветви направлены вверх. Для уровня y = m кандидаты x = −72 ± √m + 94; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (−2; 0) выколота.

Ветвь 2: y = x² − x − 6 при x ≥ −2. Выделяем квадрат: y = (x − 12)² − 254. Вершина полной параболы: (12; −254), ветви направлены вверх. Для уровня y = m кандидаты x = 12 ± √m + 254; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (−2; 0) включена.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это −254, −94, 0. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; −254): по ветвям 0 + 0 = 0 точек.

m = −254: по ветвям 0 + 1 = 1 точка.

m ∈ (−254; −94): по ветвям 0 + 2 = 2 точки.

m = −94: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (−94; 0): по ветвям 2 + 2 = 4 точки.

m = 0: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (0; +∞): по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ {−94; 0}.