Задание 02F213: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=x²+3x−3|x+2|+2.

Область определения: все действительные числа.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = x² + 6x + 8 при x < −2. Выделяем квадрат: y = (x + 3)² − 1. Вершина полной параболы: (−3; −1), ветви направлены вверх. Для уровня y = m кандидаты x = −3 ± √m + 1; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (−2; 0) выколота.

Ветвь 2: y = x² − 4 при x ≥ −2. Выделяем квадрат: y = (x)² − 4. Вершина полной параболы: (0; −4), ветви направлены вверх. Для уровня y = m кандидаты x = ±√m + 4; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (−2; 0) включена.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это −4, −1, 0. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; −4): по ветвям 0 + 0 = 0 точек.

m = −4: по ветвям 0 + 1 = 1 точка.

m ∈ (−4; −1): по ветвям 0 + 2 = 2 точки.

m = −1: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (−1; 0): по ветвям 2 + 2 = 4 точки.

m = 0: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (0; +∞): по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ {−1; 0}.