Задание OGEPHYS432554: Всемирное тяготение. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Ускорение свободного падения. Формула для вычисления силы тяжести вблизи поверхности Земли. Движение планет вокруг Солнца. Первая космическая скорость. Невесомость и перегрузки

Рассмотрим движение в системе отсчёта с началом в центре Земли, считая её инерциальной. Масса Земли M, масса спутника m, радиус круговой орбиты r = R + h. Здесь R — радиус Земли, h — высота над поверхностью. Воздухом и притяжением других небесных тел пренебрегаем. Ось On направим от спутника к центру Земли, касательную ось — по скорости. На спутник действует сила тяготения F, направленная к центру.
Второй закон Ньютона по нормали и закон всемирного тяготения:
F = ma_n;
F = GMmr².
Следовательно,
a_n = GMr².
По касательной сила равна нулю, поэтому модуль скорости на данной круговой орбите постоянен. Ускорение при этом не равно нулю: направление скорости непрерывно меняется.

Массу корабля при сравнении орбит считаем неизменной. Центростремительное ускорение a_n = v²r. Подставим его в уравнение движения:
GMmr² = mv²r.
Сократив массу и один радиус, получим:
v² = GMr.
Теперь выразим кинетическую энергию:
E_k = mv²2 = GMm2r.
Итак, энергия на круговой орбите обратно пропорциональна r, а сила тяготения F = GMmr² обратно пропорциональна r².

Новая орбита имеет меньший радиус. Поэтому кинетическая энергия увеличивается, и сила тяготения тоже увеличивается. Для обеих величин выбираем пункт 1.

Проверка по отношениям:
E_k₂E_k₁ = r₁r₂;
F₂F₁ = r₁²r₂².
Оба отношения больше единицы при r₂ < r₁. Это сравнение двух круговых состояний; нельзя считать скорость неизменной при изменении радиуса или применять сохранение одной кинетической энергии к манёвру. Ответ: 11.