Задание OGEINFFEC0A1: Поисковые запросы и множества

1. Переведём запросы на язык множеств.
A — страницы с ключевым выражением «Шоу»; B — страницы с ключевым выражением «Бернард»; C — страницы с ключевым выражением «Цирк».
Пересечение ∩ означает выполнение обоих условий («И»), объединение ∪ — выполнение хотя бы одного («ИЛИ»). Общая страница входит в объединение один раз. N обозначает количество найденных объектов; все вычисления ведём в сотнях тысяч страниц.
Из условия:
N(A) = 98.
N(B) = 93.
N(C) = 69.
N(B ∪ A ∪ C) = 226.
N(B ∩ A) = 20.
N(B ∩ C) = 0.
Найти нужно N(C ∩ A).

2. Обоснуем подсчёт без повторов.
Для любых множеств X и Y выполняется N(X ∪ Y) = N(X) + N(Y) − N(X ∩ Y). При сложении общие страницы учитываются дважды, поэтому один раз вычитаем пересечение. Эту же формулу можно решить относительно неизвестного пересечения или одного из множеств.
Для трёх множеств получаем:
N(A ∪ B ∪ C) = N(A) + N(B) + N(C) − N(A ∩ B) − N(A ∩ C) − N(B ∩ C) + N(A ∩ B ∩ C).
Страница из одного множества учитывается один раз; из двух — 2 − 1 = 1 раз; из всех трёх — 3 − 3 + 1 = 1 раз. Поэтому формула считает каждую подходящую страницу ровно один раз.
Дополнительно N(B ∩ C) = 0 = 0. Это выражение равно сумме количеств в непересекающихся областях: есть B, C; нет A; либо есть A, B, C. Каждое количество неотрицательно; раз сумма нулевая, все перечисленные области пусты.
С учётом этих соотношений выражаем искомое количество через известные:
N(C ∩ A) = N(A) + N(B) + N(C) − N(B ∪ A ∪ C) − N(B ∩ A).

3. Подставим данные.
N(C ∩ A) = 98 + 93 + 69 − 226 − 20 = 14.
Полученное число выражено в сотнях тысяч страниц. Умножать его на размер единицы таблицы не требуется: вопрос просит ответ в тех же единицах.

4. Проверка.
Перенесём остальные слагаемые обратно и восстановим одну известную величину:
N(A) = N(C ∩ A) + N(B ∪ A ∪ C) + N(B ∩ A) − N(B) − N(C).
N(A) = 14 + 226 + 20 − 93 − 69 = 98.
Совпало с условием. Отдельно проверим, какие страницы учитывает полученная формула:
есть A; нет B, C — не учитывается.
есть B; нет A, C — не учитывается.
есть A, B; нет C — не учитывается.
есть C; нет A, B — не учитывается.
есть A, C; нет B — учитывается один раз.
есть B, C; нет A — пустая область.
есть A, B, C — пустая область.
Таким образом, все и только страницы искомого запроса посчитаны без повторов.

Ответ: 14.