Задание FD6657: Геометрические фигуры и их свойства

1. Обозначим расстояние от K до AB через d. Проведём перпендикуляры KL, KH и KM к прямым AB, AD и BC соответственно. Основания перпендикуляров при необходимости могут лежать на продолжениях сторон.

2. Точка K лежит на биссектрисе угла A, поэтому равноудалена от прямых AB и AD: KL = KH. Она также лежит на биссектрисе угла B, поэтому KL = KM. Это свойство следует из равенства прямоугольных треугольников с общей гипотенузой и равными острыми углами.

Следовательно, KH = KM = KL = d = 6.

3. Внутренние биссектрисы углов A и B пересекаются между параллельными прямыми AD и BC. Действительно, K находится внутри обоих углов: с той же стороны AD, что B, и с той же стороны BC, что A. Перпендикуляры к параллельным прямым лежат на одной прямой HM, поэтому высота между AD и BC равна h = KH + KM = 2d.

Подставляем: h = 2 · 6 = 12.

4. Возьмём BC за основание. Площадь параллелограмма S = BC · h = 6 · 12 = 72.

Проверка: найденная высота 12 делится точкой K на два равных расстояния по 6, что согласуется со свойством обеих биссектрис. Деление площади на основание даёт 726 = 12, ту же высоту.

Ответ: 72.