Задание F5A849: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (4 − x) · (x² + x − 20) ≥ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (4 − x) · (x² + x − 20) − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² + x − 20 = (x − 4) · (x + 5).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −(x − 4)² · (x + 5); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −5, 4.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −5): при x = −6 получаем f(x) = 100, знак положителен.
(−5; 4): при x = −4 получаем f(x) = −64, знак отрицателен.
(4; +∞): при x = 5 получаем f(x) = −10, знак отрицателен.
x = −5 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −5] ∪ {4}.
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −5] ∪ {4}.