Задание F38DEF: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение: x²−2x+√6−x=√6−x+35. Квадратные корни определены, если 6 − x неотрицательно. Область допустимых значений: x ≤ 6.

2. На этой области одинаковое слагаемое √6 − x можно вычесть из обеих частей. Получаем x² − 2x − 35 = 0. Область x ≤ 6 сохраняем; возводить уравнение в квадрат не требуется.

3. Решим полученное квадратное уравнение:
x² − 2x − 35 = 0.
D = (−2)² − 4 · (1) · (−35) = 144.
√144 = 12. По формуле корней x = −(−2) ± 122 · (1).
Получаем x = −5, x = 7.

4. Проверим каждого кандидата по исходной области:
x = −5: 6 − (−5) = 11; подкоренное выражение неотрицательно, корень подходит.
x = 7: 6 − (7) = −1; подкоренное выражение отрицательно, значение недопустимо.

5. Проверка принятого корня x = −5. Подкоренное выражение равно 11, а часть без корня равна (−5)² + (−2) · (−5) = 35. Поэтому обе части исходного уравнения равны 35 + √11. Все преобразования на области допустимых значений равносильны, других корней нет.

Ответ: −5.