Задание F0912F: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
3x²+2y²=50;
12x²+8y²=50x.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. Левая часть второго уравнения равна левой части первого, умноженной на 4. Умножим всё первое равенство на 4 и вычтем его из второго. Квадратные члены сократятся:
−50x + 200 = 0.
Отсюда −50x = −200, поэтому x = −200−50 = 4.

3. Подставим x = 4 в первое уравнение:
3 · (4)² + 2y² = 50.
2y² = 50 − 48 = 2.
y² = 1 = 1², поэтому y = −1 или y = 1. Оба знака подходят.

4. Проверка обеих пар в исходной системе:
Пара (4; −1):
3(4)²+2(−1)² = 50, 50 = 50;
12(4)²+8(−1)² = 200, 50(4) = 200.
Пара (4; 1):
3(4)²+2(1)² = 50, 50 = 50;
12(4)²+8(1)² = 200, 50(4) = 200.
Вычитание кратного первого уравнения из второго сохраняет равносильность. Значение x единственно, а для него найдены все возможные y.

Ответ: (4; −1); (4; 1).