Задание EGEINFFB2508: Однозначное кодирование и условие Фано

Известные коды: Ч → 00; М → 01; А → 11. Начальные нули являются частью кодового слова и не отбрасываются.

Условие Фано запрещает два случая: новый код является началом уже известного или известный код является началом нового. Изобразим возможные записи мысленно как двоичное дерево: ребро 0 ведёт влево, ребро 1 вправо. Известный код занимает вершину вместе со всеми её продолжениями; его предки также не могут стать кодами других букв.

После исключения занятых ветвей остаются свободные начала: 10. Это самые короткие корни полностью свободных ветвей. Их можно получить обходом дерева: если текущая строка уже является известным кодом, её ветвь закрыта; если она не совпадает с началом ни одного известного кода, вся ветвь свободна; иначе проверяем два продолжения, добавляя 0 и 1. Такой обход охватывает все допустимые новые коды.

Кодируем слово КОТОМКА. Для неизвестных кодов частоты букв равны: К: 2, О: 2, Т: 1. Длина сообщения равна сумме произведений частоты буквы на длину её кода. Символы с частотой 0 всё равно должны иметь код: весь заданный алфавит обязан удовлетворять условию Фано.

Обозначим F(d, S) минимальную стоимость размещения набора букв S внутри полностью свободной ветви, начало которой имеет длину d. Стоимость — сумма «вес буквы × полная длина кода». Для пустого набора F(d, ∅) = 0; для единственной буквы a имеем F(d, {a}) = d · wₐ: ей отдаём корень свободной ветви.

Если букв две или больше, разделяем их на два непустых набора T и S ∖ T и добавляем к началу соответственно 0 и 1. Общая формула: F(d, S) = min [F(d + 1, T) + F(d + 1, S ∖ T)] по всем таким разделениям. Одну занятую дочернюю ветвь можно поднять к родителю, уменьшив длины, поэтому для поиска минимума достаточно этих разветвлений. Формула заканчивается на одноэлементных наборах и перебирает все существенные формы дерева.

Для нескольких свободных ветвей обозначим через Gⱼ(S) минимум после первых j ветвей. Изначально доступен только пустой набор со стоимостью 0. При добавлении ветви глубины d проверяем все T ⊆ S и выбираем минимум Gⱼ₋₁(S ∖ T) + F(d, T). Это учитывает и неиспользованную ветвь, когда T пуст. Порядок наборов в следующих строках: ∅, К, О, КО, Т, КТ, ОТ, КОТ.

Таблица минимальной стоимости для каждого набора:
После ветви 10: 0, 4, 4, 12, 2, 9, 9, 18.

Получен минимум для неизвестных кодов: 18. Он достижим, например, при назначении:
К: код 100, длина 3, вес 2; вклад = 2 · 3 = 6.
О: код 1010, длина 4, вес 2; вклад = 2 · 4 = 8.
Т: код 1011, длина 4, вес 1; вклад = 1 · 4 = 4.

Вклад известных кодов: 0 · 2 + 1 · 2 + 1 · 2 = 4.

Код слова по буквам: 100 | 1010 | 1011 | 1010 | 01 | 100 | 11.

Искомая длина = 4 + 18 = 22.

Проверка: все назначенные слова лежат в свободных ветвях; внутри каждой ветви они являются разными листьями, поэтому условие Фано выполнено и между новыми кодами, и со старыми. Сумма вкладов соответствует найденному минимуму. Таблица перебрала все распределения между свободными ветвями, а рекурсия — все разветвления внутри них, поэтому меньшая стоимость невозможна.

Ответ: 22.