Задание EGEINFE7311A: Графы, таблицы и маршруты

Решение.
Рисунок и таблица описывают одни и те же дороги. Буквенные обозначения нельзя сопоставлять номерам по положению на рисунке: нужно сохранить связи между пунктами. Пустая клетка означает отсутствие прямой дороги.
Степень вершины — число выходящих из неё дорог. На рисунке: A — 4, B — 3, C — 2, D — 3, E — 3, F — 2, G — 3.
В таблице степени равны: 1 — 2, 2 — 4, 3 — 2, 4 — 3, 5 — 3, 6 — 3, 7 — 3.
Сопоставлять можно только вершины одинаковой степени. Затем сравниваем, с какими группами вершин связаны их соседи; если наборы различаются, соответствие исключаем. Повторяем уточнение, пока группы перестанут делиться.
Уточнение 1: A ∈ {2}; B ∈ {6, 7}; C ∈ {1, 3}; D ∈ {6, 7}; E ∈ {4, 5}; F ∈ {1, 3}; G ∈ {4, 5}.
Уточнение 2: A ∈ {2}; B ∈ {6, 7}; C ∈ {1, 3}; D ∈ {6, 7}; E ∈ {4, 5}; F ∈ {1, 3}; G ∈ {4, 5}.
Внутри оставшихся групп перебираем взаимно однозначные соответствия. Всего вариантов: 8. Для каждого проверяем все пары пунктов: и наличие дороги, и её отсутствие должны совпадать.
A=2, B=6, C=1, D=7, E=4, F=3, G=5: исключаем — на рисунке нет дороги B–C, а в клетке 6–1 отмечена дорога.
A=2, B=6, C=1, D=7, E=5, F=3, G=4: исключаем — на рисунке нет дороги B–C, а в клетке 6–1 отмечена дорога.
A=2, B=7, C=1, D=6, E=4, F=3, G=5: исключаем — на рисунке нет дороги B–E, а в клетке 7–4 отмечена дорога.
Подходит: A=2, B=7, C=1, D=6, E=5, F=3, G=4.
Подходит: A=2, B=6, C=3, D=7, E=4, F=1, G=5.
A=2, B=6, C=3, D=7, E=5, F=1, G=4: исключаем — на рисунке нет дороги B–E, а в клетке 6–5 отмечена дорога.
A=2, B=7, C=3, D=6, E=4, F=1, G=5: исключаем — на рисунке нет дороги B–C, а в клетке 7–3 отмечена дорога.
A=2, B=7, C=3, D=6, E=5, F=1, G=4: исключаем — на рисунке нет дороги B–C, а в клетке 7–3 отмечена дорога.
Для соответствия 1: E — номер 5, G — номер 4.
Для соответствия 2: E — номер 4, G — номер 5.
По условию номера записываем в порядке возрастания, независимо от порядка букв. После упорядочения в каждом допустимом случае получается 45.
Проверка первого допустимого соответствия по всем дорогам рисунка: DC → 6–1; CF → 1–3; FB → 3–7; BG → 7–4; GE → 4–5; ED → 5–6; DA → 6–2; AB → 2–7; AE → 2–5; AG → 2–4.
Все перечисленные клетки непусты, а число дорог в таблице равно числу рёбер рисунка. Значит, лишних связей не появилось. Остальные варианты либо прошли ту же проверку, либо исключены указанным противоречием.
Ответ: 45.