Задание EGEINFE51935: Подсчёт слов и последовательностей

Длина слова n = 5. Алфавит в порядке возрастания: А, П, Р, С, У. Всего букв b = 5; повторения букв разрешены.

Сопоставим буквам цифры от 0 до b − 1: А → 0, П → 1, Р → 2, С → 3, У → 4. Алфавитное сравнение слов одинаковой длины совпадает со сравнением позиционных записей: решает первая различающаяся буква слева. Начальные нули сохраняем, поскольку длина слова фиксирована.

Номер в списке на единицу больше значения записи. Для цифр d₁, …, dₙ формула имеет вид N = 1 + d₁ · bⁿ⁻¹ + d₂ · bⁿ⁻² + … + dₙ. Единица нужна потому, что первое слово состоит из минимальных букв, его код равен нулю, а номер равен 1.

Условия отбора: число букв У от 0 до 1 включительно; запрещены соседние пары АА.

Докажем выбор слова последовательно слева направо. D(q) — число допустимых полных слов с началом q. Для полного слова D равно 1, если выполнены все ограничения, иначе 0. Для более короткого начала D(q) = сумма D(qc) по всем буквам c. Так перебираются все продолжения без пропусков и повторов; запрещённая буква, лишнее вхождение или запрещённая соседняя пара сразу дают ноль.

На каждом шаге выбираем наибольшую букву с положительным числом продолжений. Ниже числа D(qc) перечислены в порядке алфавита АПРСУ. Нули у всех более подходящих букв доказывают невозможность улучшить выбор.

Начало «пусто»: А: 366, П: 450, Р: 450, С: 450, У: 216; выбираем У.
Начало «У»: А: 45, П: 57, Р: 57, С: 57, У: 0; выбираем С.
Начало «УС»: А: 12, П: 15, Р: 15, С: 15, У: 0; выбираем С.
Начало «УСС»: А: 3, П: 4, Р: 4, С: 4, У: 0; выбираем С.
Начало «УССС»: А: 1, П: 1, Р: 1, С: 1, У: 0; выбираем С.

Полученное слово: УСССС.

Код слова: 43333.
Место 1: У → 4; вклад = 4 · 5⁴ = 2500.
Место 2: С → 3; вклад = 3 · 5³ = 375.
Место 3: С → 3; вклад = 3 · 5² = 75.
Место 4: С → 3; вклад = 3 · 5¹ = 15.
Место 5: С → 3; вклад = 3 · 5⁰ = 3.

N = 1 + 2500 + 375 + 75 + 15 + 3 = 2969.

Проверка: из N − 1 = 2968 последовательным делением с остатком на 5 восстанавливается код 43333 длины 5, то есть слово УСССС. Оно удовлетворяет всем ограничениям. Таблица продолжений исключила все слова, которые могли бы дать лучший номер.

Ответ: 2969.