Задание EGEINFDE4AE1: Системы счисления и арифметика

Решение.
1. Заменим вычитание дополнением цифр.
N = 7¹⁷⁰ + 7¹⁰⁰ – x.
Допустимые значения: 1 ≤ x ≤ 2030.
Положим y = x − 1. Тогда 0 ≤ y ≤ 2029.
7¹⁰⁰ − x = (7¹⁰⁰ − 1) − y.
Число 7¹⁰⁰ − 1 состоит из 100 цифр 6. Поэтому вычитание y заменяет каждую цифру d на 6 − d. Если запись y короче, дополняем её слева нулями: они превращаются в 6, а не в нули.
Таким образом, в младшем блоке нули возникают ровно на местах цифры 6 в записи y.
Старшая часть после заимствования единицы из младшей степени:
Разряды 170…170: цифра 1; количество 170 − 170 + 1 = 1.
Разряды 169…100: цифра 0; количество 169 − 100 + 1 = 70.
Нулей в неизменной старшей части: 70.
Общее число нулей: z(x) = 70 + количество цифр 6 в записи x − 1.
2. Проверим весь разрешённый диапазон.
Для каждого y от 0 до верхней границы последовательно делим y на основание с остатком. Каждый остаток — очередная цифра; прибавляем единицу к счётчику только при остатке, равном основанию минус один. К этому счётчику добавляем нули старшей части. Для каждого результата сохраняем число подходящих x и наибольшее из них. Получаем:
Нулей 70: значений x — 1296; наибольшее x = 2001.
Нулей 71: значений x — 630; наибольшее x = 2029.
Нулей 72: значений x — 99; наибольшее x = 2030.
Нулей 73: значений x — 5; наибольшее x = 1715.
Проверка полноты: 1296 + 630 + 99 + 5 = 2030; проверены все допустимые x.
Требуемое число нулей: 73. Это наибольшее значение в таблице.
Среди 5 подходящих значений наибольшее x = 1715.
3. Проверка выбранного значения.
y = 1715 − 1 = 1714.
Цифры y в основании 7, от старшей к младшей: 4, 6, 6, 6.
Цифра 6 встречается 3 раз; нулей в N получается 70 + 3 = 73.
Наибольшие значения для каждого результата в полной таблице подтверждают, что большего подходящего x в разрешённом диапазоне нет.

Ответ: 1715.