Задание EGEINFDAB821: Параллельные вычисления

Решение.

В приложенной таблице 13 процессов. Первый столбец содержит их идентификаторы, второй — длительности в миллисекундах, третий — идентификаторы всех необходимых предшественников. Ноль в третьем столбце означает отсутствие предшественников. Типовой пример из условия не заменяет данные файла.

Начальный момент обозначим 0. Пусть d(B) — длительность процесса B, S(B) — время его начала, F(B) — время окончания. Процесс занимает промежуток от S(B) включительно до F(B) не включительно. Его результат доступен уже в момент F(B); следующий процесс может начаться в этот же момент.

Для самого раннего допустимого запуска используем правила:
S(B) = 0, если предшественников нет;
S(B) = max(F(A)), где максимум берётся по всем предшественникам A;
F(B) = S(B) + d(B).
Длительности разных предшественников не складываем: они могут работать параллельно. Но ждать требуется завершения каждого, поэтому выбираем самое позднее окончание. Строки вычисляем после их предшественников, даже если в файле они расположены в другом порядке.

Эти времена достижимы одновременным запуском всех готовых процессов. Раньше запустить очередной процесс нельзя: хотя бы один необходимый результат ещё отсутствует. Последовательно применяя это рассуждение по зависимостям, получаем минимальные времена окончания каждого процесса.

Проверка зависимостей и длительностей. Полный расчёт самого раннего расписания, все времена в мс:

Здесь требуется увеличить непрерывный интервал параллельной работы. Самые ранние запуски не обязательны: можно задерживать процессы, соблюдая зависимости и не прерывая начавшийся процесс. Поэтому таблица ранних окончаний сама по себе ещё не даёт искомого максимума.

Разделим граф на независимые компоненты. Процессы 101–108 дают не более 2 одновременных работ. Процессы 109–113 дают не более 2 одновременных работ. В первой компоненте пары возможны только у 101 и 102 либо у 105 вместе с 104 или 106. Во второй возможны только пары {110,111}, {110,113}, {112,113}. Поэтому во всей системе одновременно может работать не более 4 процессов. Ниже построено расписание, где это число достигается.

Обоснуем верхнюю границу длительности. Две работы первой компоненты возможны либо у {101,102}, либо у 105 вместе с последовательными 104,106. Между стадиями выполняется 103, во время которого первой компоненте нельзя дать две работы. Первая стадия не длиннее min(15,14)=14 мс; вторая — min(15,3+11)=14 мс. Поэтому четыре процесса всей системы не могут непрерывно выполняться дольше 14 мс.

Построим расписание, достигающее этой границы. Каждый процесс идёт без остановок, а его начало не раньше окончания любого предшественника:

На всём промежутке [18; 32) одновременно работают 4 процессов. При завершении одного процесса другой может сразу занять его место; разрыва параллельной работы нет:

Длина промежутка 32 − 18 = 14 мс. Она совпадает с доказанной верхней границей.

Ответ: 14.