ФИПИ · ЕГЭ · все форматы ответа · 2475 заданий
Тип задачи: Оптимальный маршрут по клетчатому полю.
Учебные темы: Двумерные массивы (матрицы). Алгоритмы обработки двумерных массивов: заполнение двумерного числового массива по заданным правилам, поиск элемента в двумерном массиве, вычисление максимума (минимума) и суммы элементов двумерного массива, перестановка строк и столбцов двумерного массива; Динамическое программирование как метод решения задач с сохранением промежуточных результатов. Задачи, решаемые с помощью динамического программирования: вычисление рекурсивных функций, подсчёт количества вариантов, задачи оптимизации; Анализ данных с помощью электронных таблиц. Вычисление суммы, среднего арифметического, наибольшего (наименьшего) значения диапазона. Вычисление коэффициента корреляции двух рядов данных. Построение столбчатых, линейчатых и круговых диаграмм. Построение графиков функций. Подбор линии тренда, решение задач прогнозирования. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц.
| КЭС: | 4.5 Табличные (реляционные) базы данных. Таблица – представление сведений об однотипных объектах. Поле, запись. Ключ таблицы. Работа с готовой базой данных. Заполнение базы данных. Поиск, сортировка и фильтрация данных. Запросы на выборку данных. Запросы с параметрами. Вычисляемые поля в запросах. Многотабличные базы данных. Типы связей между таблицами. Внешний ключ. Целостность базы данных. Запросы к многотабличным базам данных |
| Тип ответа: | Краткий ответ |
Ответ: 2009 628
Решение.
Откроем приложенную электронную таблицу. Исходные числа занимают диапазон A1:T20: поле имеет размер 20 × 20. Начинаем в A1 и движемся только вправо или вниз. Число в каждой посещённой клетке, включая начало и финиш, прибавляется к сумме.
Финиш разрешён в любой угловой клетке в смысле условия: из неё нельзя сделать ни шаг вправо, ни шаг вниз. Учитываем внутренние стены и внешнюю границу поля. Останавливаться в произвольной промежуточной клетке нельзя.
В исходном поле найдено 73 внутренних границ между соседними клетками, через которые проход запрещён.
Будем хранить для каждой достижимой клетки две величины: L — наименьшую сумму от A1 до неё, H — наибольшую. Для A1 обе величины равны числу в самой A1: 9.
В любую другую клетку можно прийти только из соседней слева или сверху. Переход слева разрешён, если нет стены между этими клетками; переход сверху — если нет стены над текущей клеткой. Недостижимого соседа не используем.
Если оба входа разрешены, прибавим число текущей клетки к меньшей из двух величин L и к большей из двух величин H. Если допустимый вход один, берём только его. Если нет ни одного, помечаем клетку «нет пути», а не нулём.
Это динамическое программирование: любой путь в текущую клетку заканчивается одним из допустимых входов. Поэтому выбор лучшего пути до предшественника перебирает все возможности последнего шага. Обрабатывая строки сверху вниз, а клетки в строке слева направо, получаем точные минимум и максимум для всего поля.
Для расчёта в редакторе таблиц создадим под исходными числами блок максимумов с началом в A22. В A22 введём =A1. Например, значение для B2 окажется в B23: при двух допустимых входах формула имеет вид =B2+МАКС(A23;B22). Если вход перекрыт стеной или ведёт из недостижимой клетки, соответствующую ссылку исключаем. Начальную клетку общей формулой не заменяем.
Первую строку заполняем только по входу слева, первый столбец — только по входу сверху. После каждой стены отдельно проверяем достижимость. Для минимумов создадим такой же блок, заменив МАКС на МИН и сохранив все ограничения переходов. Нельзя протянуть общую формулу через стены без исправления ссылок.
Контрольные значения начала таблицы:
| Клетка | Число | L | H |
|---|---|---|---|
| A1 | 9 | 9 | 9 |
| B1 | 23 | 32 | 32 |
| A2 | 28 | 37 | 37 |
| B2 | 22 | 54 | 59 |
Значения в разрешённых конечных клетках:
| Финиш | Минимум | Максимум |
|---|---|---|
| L8 | 628 | 1168 |
| R10 | 836 | 1680 |
| O20 | 1090 | 2009 |
| T20 | 1004 | 1908 |
Среди достижимых конечных клеток наименьшее значение L равно 628, наибольшее значение H равно 2009. Они могут достигаться в разных тупиках.
Проверка. Восстановим оба оптимальных маршрута, каждый раз выбирая предшественника, давшего записанную сумму. Ниже указаны посещённые столбцы по строкам; диапазон включает оба края. Между строками спускаемся в том столбце, в котором закончился предыдущий отрезок. Знак «—» означает, что маршрут завершился раньше.
| Строка | Минимальный: столбцы | Сумма | Максимальный: столбцы | Сумма |
|---|---|---|---|---|
| 1 | A | 9 | A | 9 |
| 2 | A | 28 | A | 28 |
| 3 | A | 27 | A–C | 118 |
| 4 | A | 11 | C | 58 |
| 5 | A–B | 27 | C–E | 253 |
| 6 | B | 14 | E | 57 |
| 7 | B–D | 65 | E | 43 |
| 8 | D–L | 447 | E | 45 |
| 9 | — | 0 | E | 16 |
| 10 | — | 0 | E–F | 127 |
| 11 | — | 0 | F–G | 97 |
| 12 | — | 0 | G | 80 |
| 13 | — | 0 | G–H | 69 |
| 14 | — | 0 | H | 99 |
| 15 | — | 0 | H | 61 |
| 16 | — | 0 | H | 92 |
| 17 | — | 0 | H | 25 |
| 18 | — | 0 | H | 22 |
| 19 | — | 0 | H | 57 |
| 20 | — | 0 | H–O | 653 |
| Итого | 628 | 2009 |
Все переходы этих маршрутов разрешены. Суммы чисел исходного файла дают 628 и 2009; начальная и конечная клетки учтены ровно один раз. Таблица динамического программирования доказывает, что меньшая и большая суммы невозможны.
По условию сначала записываем максимум, затем минимум.
Ответ: 2009 628.
Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании EGEINFD9CFB2.
Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.
Комментарии к решению
Комментарии видны всем посетителям сайта.
Комментариев пока нет. Будьте первым.
Чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.