Задание EGEINFD7F348: Системы счисления и арифметика

Решение.
1. Заменим вычитание дополнением цифр.
N = 5¹⁵⁰ + 5¹⁰⁰ – x.
Допустимые значения: 1 ≤ x ≤ 2030.
Положим y = x − 1. Тогда 0 ≤ y ≤ 2029.
5¹⁰⁰ − x = (5¹⁰⁰ − 1) − y.
Число 5¹⁰⁰ − 1 состоит из 100 цифр 4. Поэтому вычитание y заменяет каждую цифру d на 4 − d. Если запись y короче, дополняем её слева нулями: они превращаются в 4, а не в нули.
Таким образом, в младшем блоке нули возникают ровно на местах цифры 4 в записи y.
Старшая часть после заимствования единицы из младшей степени:
Разряды 150…150: цифра 1; количество 150 − 150 + 1 = 1.
Разряды 149…100: цифра 0; количество 149 − 100 + 1 = 50.
Нулей в неизменной старшей части: 50.
Общее число нулей: z(x) = 50 + количество цифр 4 в записи x − 1.
2. Проверим весь разрешённый диапазон.
Для каждого y от 0 до верхней границы последовательно делим y на основание с остатком. Каждый остаток — очередная цифра; прибавляем единицу к счётчику только при остатке, равном основанию минус один. К этому счётчику добавляем нули старшей части. Для каждого результата сохраняем число подходящих x и наибольшее из них. Получаем:
Нулей 50: значений x — 852; наибольшее x = 2029.
Нулей 51: значений x — 825; наибольшее x = 2030.
Нулей 52: значений x — 301; наибольшее x = 2025.
Нулей 53: значений x — 49; наибольшее x = 2000.
Нулей 54: значений x — 3; наибольшее x = 1875.
Проверка полноты: 852 + 825 + 301 + 49 + 3 = 2030; проверены все допустимые x.
Требуемое число нулей: 54. Это наибольшее значение в таблице.
Среди 3 подходящих значений наибольшее x = 1875.
3. Проверка выбранного значения.
y = 1875 − 1 = 1874.
Цифры y в основании 5, от старшей к младшей: 2, 4, 4, 4, 4.
Цифра 4 встречается 4 раз; нулей в N получается 50 + 4 = 54.
Наибольшие значения для каждого результата в полной таблице подтверждают, что большего подходящего x в разрешённом диапазоне нет.

Ответ: 1875.