Задание EGEINFCB31CC: Системы счисления и арифметика

Решение.
1. Заменим вычитание дополнением цифр.
N = 9 ∙ 11³⁵⁰ + 8 ∙ 11¹⁵⁰ – x.
Допустимые значения: 1 ≤ x ≤ 3000.
Положим y = x − 1. Тогда 0 ≤ y ≤ 2999.
11¹⁵⁰ − x = (11¹⁵⁰ − 1) − y.
Число 11¹⁵⁰ − 1 состоит из 150 цифр 10. Поэтому вычитание y заменяет каждую цифру d на 10 − d. Если запись y короче, дополняем её слева нулями: они превращаются в 10, а не в нули.
Таким образом, в младшем блоке нули возникают ровно на местах цифры 10 в записи y.
Старшая часть после заимствования единицы из младшей степени:
Разряды 350…350: цифра 9; количество 350 − 350 + 1 = 1.
Разряды 349…151: цифра 0; количество 349 − 151 + 1 = 199.
Разряды 150…150: цифра 7; количество 150 − 150 + 1 = 1.
Нулей в неизменной старшей части: 199.
Общее число нулей: z(x) = 199 + количество цифр 10 в записи x − 1.
2. Проверим весь разрешённый диапазон.
Для каждого y от 0 до верхней границы последовательно делим y на основание с остатком. Каждый остаток — очередная цифра; прибавляем единицу к счётчику только при остатке, равном основанию минус один. К этому счётчику добавляем нули старшей части. Для каждого результата сохраняем число подходящих x и наибольшее из них. Получаем:
Нулей 199: значений x — 2288; наибольшее x = 3000.
Нулей 200: значений x — 648; наибольшее x = 2992.
Нулей 201: значений x — 62; наибольшее x = 2904.
Нулей 202: значений x — 2; наибольшее x = 2662.
Проверка полноты: 2288 + 648 + 62 + 2 = 3000; проверены все допустимые x.
Требуемое число нулей: 202.
Среди 2 подходящих значений наибольшее x = 2662.
3. Проверка выбранного значения.
y = 2662 − 1 = 2661.
Цифры y в основании 11, от старшей к младшей: 1, 10, 10, 10.
Цифра 10 встречается 3 раз; нулей в N получается 199 + 3 = 202.
Наибольшие значения для каждого результата в полной таблице подтверждают, что большего подходящего x в разрешённом диапазоне нет.

Ответ: 2662.