Задание EGEINF9D1C5D: Графы, таблицы и маршруты

Решение.
Рисунок и таблица описывают одни и те же дороги. Буквенные обозначения нельзя сопоставлять номерам по положению на рисунке: нужно сохранить связи между пунктами. Пустая клетка означает отсутствие прямой дороги.
Степень вершины — число выходящих из неё дорог. На рисунке: А — 6, Б — 2, В — 3, Г — 3, Д — 3, Е — 3, К — 2.
В таблице степени равны: 1 — 2, 2 — 6, 3 — 3, 4 — 2, 5 — 3, 6 — 3, 7 — 3.
Сопоставлять можно только вершины одинаковой степени. Затем сравниваем, с какими группами вершин связаны их соседи; если наборы различаются, соответствие исключаем. Повторяем уточнение, пока группы перестанут делиться.
Уточнение 1: А ∈ {2}; Б ∈ {1, 4}; В ∈ {3, 6}; Г ∈ {5, 7}; Д ∈ {5, 7}; Е ∈ {3, 6}; К ∈ {1, 4}.
Уточнение 2: А ∈ {2}; Б ∈ {1, 4}; В ∈ {3, 6}; Г ∈ {5, 7}; Д ∈ {5, 7}; Е ∈ {3, 6}; К ∈ {1, 4}.
Внутри оставшихся групп перебираем взаимно однозначные соответствия. Всего вариантов: 8. Для каждого проверяем все пары пунктов: и наличие дороги, и её отсутствие должны совпадать.
Подходит: А=2, Б=1, В=3, Г=5, Д=7, Е=6, К=4.
А=2, Б=1, В=3, Г=7, Д=5, Е=6, К=4: исключаем — на рисунке есть дорога В–Г, а в клетке 3–7 пусто.
А=2, Б=1, В=6, Г=5, Д=7, Е=3, К=4: исключаем — на рисунке есть дорога Б–В, а в клетке 1–6 пусто.
А=2, Б=1, В=6, Г=7, Д=5, Е=3, К=4: исключаем — на рисунке есть дорога Б–В, а в клетке 1–6 пусто.
А=2, Б=4, В=3, Г=5, Д=7, Е=6, К=1: исключаем — на рисунке есть дорога Б–В, а в клетке 4–3 пусто.
А=2, Б=4, В=3, Г=7, Д=5, Е=6, К=1: исключаем — на рисунке есть дорога Б–В, а в клетке 4–3 пусто.
А=2, Б=4, В=6, Г=5, Д=7, Е=3, К=1: исключаем — на рисунке есть дорога В–Г, а в клетке 6–5 пусто.
Подходит: А=2, Б=4, В=6, Г=7, Д=5, Е=3, К=1.
Для соответствия 1: А–В соответствует 2–3, длина 5; А–Е соответствует 2–6, длина 8.
Сумма длин: 5 + 8 = 13.
Для соответствия 2: А–В соответствует 2–6, длина 8; А–Е соответствует 2–3, длина 5.
Сумма длин: 8 + 5 = 13.
Во всех допустимых соответствиях искомая величина одинакова и равна 13. Наличие нескольких соответствий, если они есть, поэтому не создаёт неоднозначности ответа.
Проверка первого допустимого соответствия по всем дорогам рисунка: АБ → 2–1; АВ → 2–3; АГ → 2–5; АД → 2–7; АЕ → 2–6; АК → 2–4; БВ → 1–3; ВГ → 3–5; ГД → 5–7; ДЕ → 7–6; ЕК → 6–4.
Все перечисленные клетки непусты, а число дорог в таблице равно числу рёбер рисунка. Значит, лишних связей не появилось. Остальные варианты либо прошли ту же проверку, либо исключены указанным противоречием.
Ответ: 13.