Задание EGEINF9229A5: Подсчёт программ исполнителя

Начало: 2. Цель: 20.
Команды: A — n + 1; B — n + 3; C — n · 3.
Обязательные числа: 16.
Запрещённые числа: 12.

На рассматриваемом промежутке каждая разрешённая команда строго изменяет число: оно возрастает. Поэтому возвращений и циклов нет. Если выйти за конечную границу в направлении движения, вернуться к цели уже нельзя. Обязательные числа посещаются в единственном порядке: 2 → 16 → 20. Разобьём путь в этих точках. Любую программу первого этапа можно соединить с любой программой следующего; разбиение единственно. Поэтому количества программ на этапах перемножаются.

На каждом этапе считаем число программ из его начального числа в n. Для первого этапа обозначим его F(n), для следующих используем G(n) и H(n), если они нужны. В начальной точке значение равно 1: это пустая программа. Для недостижимого числа, нецелого аргумента и числа вне промежутка этапа значение равно 0. В запрещённой точке также ставим 0: продолжать путь через неё нельзя.
Любая непустая программа заканчивается одной из разрешённых команд. Складываем количества программ для всех её допустимых предшественников. Если разные команды ведут из одного числа в одно и то же число, это разные программы: соответствующее слагаемое учитывается повторно.
Для остальных точек общая формула имеет вид:
F(n) = F(n − 1) + F(n − 3) + F(n3).
Слагаемое для умножения на 3 учитываем только при делимости n на 3. Нулевые слагаемые из-за выхода за промежуток ниже опускаем. Для G и H действует та же формула со своей начальной точкой.

Этап 1: 2 → 16.
F(2) = 1.
F(3) = F(2) = 1.
F(4) = F(3) = 1.
F(5) = F(2) + F(4) = 1 + 1 = 2.
F(6) = F(2) + F(3) + F(5) = 1 + 1 + 2 = 4.
F(7) = F(4) + F(6) = 1 + 4 = 5.
F(8) = F(5) + F(7) = 2 + 5 = 7.
F(9) = F(3) + F(6) + F(8) = 1 + 4 + 7 = 12.
F(10) = F(7) + F(9) = 5 + 12 = 17.
F(11) = F(8) + F(10) = 7 + 17 = 24.
F(12) = 0.
F(13) = F(10) = 17.
F(14) = F(11) + F(13) = 24 + 17 = 41.
F(15) = F(5) + F(14) = 2 + 41 = 43.
F(16) = F(13) + F(15) = 17 + 43 = 60.

Этап 2: 16 → 20.
G(16) = 1.
G(17) = G(16) = 1.
G(18) = G(17) = 1.
G(19) = G(16) + G(18) = 1 + 1 = 2.
G(20) = G(17) + G(19) = 1 + 2 = 3.

Перемножим результаты этапов: 60 · 3 = 180.
Всего программ: 180.

Проверка. Независимый перебор последовательностей команд начинается с исходного числа и пробует каждую разрешённую команду отдельной ветвью. Ветка прекращается при попадании в запрещённое число или при выходе за цель. При достижении цели учитываем её только после посещения всех обязательных чисел. Такой перебор даёт 180 программ — столько же, сколько поэтапный подсчёт. Запрещённые значения учтены на каждом этапе; при соединении этапов обязательные числа не пропускаются. Нужное количество записываем одним целым числом.

Ответ: 180.