Задание EGEINF8A5B85: Графы, таблицы и маршруты

Решение.
Рисунок и таблица описывают одни и те же дороги. Буквенные обозначения нельзя сопоставлять номерам по положению на рисунке: нужно сохранить связи между пунктами. Пустая клетка означает отсутствие прямой дороги.
Степень вершины — число выходящих из неё дорог. На рисунке: A — 3, B — 2, C — 3, D — 2, E — 2, F — 2, G — 3, H — 3.
В таблице степени равны: 1 — 3, 2 — 2, 3 — 2, 4 — 2, 5 — 3, 6 — 3, 7 — 2, 8 — 3.
Сопоставлять можно только вершины одинаковой степени. Затем сравниваем, с какими группами вершин связаны их соседи; если наборы различаются, соответствие исключаем. Повторяем уточнение, пока группы перестанут делиться.
Уточнение 1: A ∈ {1, 5, 8}; B ∈ {3, 4}; C ∈ {1, 5, 8}; D ∈ {3, 4}; E ∈ {2, 7}; F ∈ {2, 7}; G ∈ {1, 5, 8}; H ∈ {6}.
Уточнение 2: A ∈ {5, 8}; B ∈ {3, 4}; C ∈ {5, 8}; D ∈ {3, 4}; E ∈ {2}; F ∈ {7}; G ∈ {1}; H ∈ {6}.
Уточнение 3: A ∈ {5, 8}; B ∈ {3, 4}; C ∈ {5, 8}; D ∈ {3, 4}; E ∈ {2}; F ∈ {7}; G ∈ {1}; H ∈ {6}.
Внутри оставшихся групп перебираем взаимно однозначные соответствия. Всего вариантов: 4. Для каждого проверяем все пары пунктов: и наличие дороги, и её отсутствие должны совпадать.
A=5, B=3, C=8, D=4, E=2, F=7, G=1, H=6: исключаем — на рисунке нет дороги A–B, а в клетке 5–3 отмечена дорога.
Подходит: A=8, B=3, C=5, D=4, E=2, F=7, G=1, H=6.
Подходит: A=5, B=4, C=8, D=3, E=2, F=7, G=1, H=6.
A=8, B=4, C=5, D=3, E=2, F=7, G=1, H=6: исключаем — на рисунке нет дороги A–B, а в клетке 8–4 отмечена дорога.
Для соответствия 1: G–E соответствует 1–2, длина 15; F–H соответствует 7–6, длина 37.
Сумма длин: 15 + 37 = 52.
Для соответствия 2: G–E соответствует 1–2, длина 15; F–H соответствует 7–6, длина 37.
Сумма длин: 15 + 37 = 52.
Во всех допустимых соответствиях искомая величина одинакова и равна 52. Наличие нескольких соответствий, если они есть, поэтому не создаёт неоднозначности ответа.
Проверка первого допустимого соответствия по всем дорогам рисунка: HD → 6–4; DA → 4–8; AC → 8–5; CB → 5–3; BH → 3–6; HF → 6–7; FE → 7–2; EG → 2–1; GA → 1–8; GC → 1–5.
Все перечисленные клетки непусты, а число дорог в таблице равно числу рёбер рисунка. Значит, лишних связей не появилось. Остальные варианты либо прошли ту же проверку, либо исключены указанным противоречием.
Ответ: 52.