ФИПИ · ЕГЭ · все форматы ответа · 2475 заданий
Тип задачи: Игры и выигрышные стратегии.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
добавить в одну из куч (по своему выбору) 4 камня;
увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 2 раза.
Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (24, 30), (20, 34), (40, 30), (20, 60).
Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 133. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 133 камня
или больше. В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче S камней; 1 ≤ S ≤ 115.
| КЭС: | 2.15 Дискретные игры двух игроков с полной информацией. Построение дерева перебора вариантов, описание стратегии игры в табличной форме. Выигрышные и проигрышные позиции. Выигрышные стратегии |
| Тип ответа: | Краткий ответ |
Ответ: 28 48
Решение.
Начальная позиция — (17; S), где 1 ≤ S ≤ 115. За ход меняется одна выбранная куча: к ней добавляют 4 камня или увеличивают её в 2 раза. Игра заканчивается, как только сумма двух куч достигает 133 или превышает это число. Петя ходит первым.
Из позиции (a; b) разрешены четыре перехода: (a + 4; b), (a; b + 4), (2a; b), (a; 2b). Порядок куч сохраняем во всех таблицах.
Рассматриваем позицию с точки зрения игрока, которому сейчас ходить. Введём четыре класса позиций. W₁ — можно закончить игру следующим ходом. L₁ — любой разрешённый ход передаёт сопернику позицию W₁, поэтому соперник гарантированно выигрывает своим первым ходом.
Для (a; b) условие W₁ проверяется по получающимся суммам: a + b + 4, 2a + b, a + 2b. Два хода добавления дают одинаковую сумму. Достаточно, чтобы хотя бы одна из этих сумм была не меньше 133.
W₂ — выиграть за один ход нельзя, но есть ход в L₁. После такого хода соперник вынужден передать позицию W₁, и игрок завершает игру своим вторым ходом. Проверка здесь состоит из существования одного подходящего собственного хода и проверки всех ответов противника.
L₂ — позиция не относится к L₁, а каждый разрешённый ход ведёт в W₁ или W₂. Тогда соперник гарантирует победу своим первым либо вторым ходом. Исключение L₁ необходимо: по условию задачи 21 победа первым ходом не должна гарантироваться. Терминальную позицию не относим ни к одному из этих четырёх классов: игра в ней уже закончилась.
Нужные начальные значения S — это позиции W₂. Проверяем допустимые S в порядке возрастания и выбираем первые два подходящих значения.
Результат последовательной проверки всех начальных S от 1 до 115 включительно. Для каждого перехода применяем правила выше; для двух куч проверяем и позиции с изменившейся первой кучей.
| Класс начальной позиции | Значения S |
|---|---|
| W₁ | 58–115 |
| L₁ | 56–57 |
| W₂ | 28, 48–49, 52–55 |
| L₂ | 44–45, 50–51 |
| Не входит в эти четыре класса | 1–27, 29–43, 46–47 |
Покажем гарантированную стратегию для найденных значений. Каждая строка таблицы — возможное развитие игры; на ходе противника перечислены все допустимые ответы, на ходе победителя выбран один обеспечивающий победу ход. Знак «—» означает, что игра уже закончилась.
При S = 28:
| Начало | Петя, ход 1 | Ваня, ход 1 | Петя, ход 2 |
|---|---|---|---|
| (17; 28) | (17; 56) | (21; 56) | (21; 112) |
| (17; 28) | (17; 56) | (34; 56) | (34; 112) |
| (17; 28) | (17; 56) | (17; 60) | (17; 120) |
| (17; 28) | (17; 56) | (17; 112) | (21; 112) |
Первым ходом Петя может получить (21; 28), (34; 28), (17; 32), (17; 56). Ни одна из этих позиций не завершает игру. Показанный в таблице первый ход оставляет сопернику позицию L₁, а затем при каждом ответе соперника Петя достигает порога своим вторым ходом.
При S = 48:
| Начало | Петя, ход 1 | Ваня, ход 1 | Петя, ход 2 |
|---|---|---|---|
| (17; 48) | (34; 48) | (38; 48) | (38; 96) |
| (17; 48) | (34; 48) | (68; 48) | (136; 48) |
| (17; 48) | (34; 48) | (34; 52) | (34; 104) |
| (17; 48) | (34; 48) | (34; 96) | (38; 96) |
Первым ходом Петя может получить (21; 48), (34; 48), (17; 52), (17; 96). Ни одна из этих позиций не завершает игру. Показанный в таблице первый ход оставляет сопернику позицию L₁, а затем при каждом ответе соперника Петя достигает порога своим вторым ходом.
Проверка: все переходы в таблицах разрешены условием, игра нигде не продолжается после достижения порога, а каждая конечная позиция получена ходом нужного игрока. Независимый перебор дерева игры до второго хода каждого игрока подтвердил те же классы для всех проверенных S и все ветви приведённых стратегий.
Следовательно, два наименьших подходящих значения — 28 и 48.
Ответ: 28 48.
Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании EGEINF872F40.
Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.
Комментарии к решению
Комментарии видны всем посетителям сайта.
Комментариев пока нет. Будьте первым.
Чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.