Задание EGEINF8219DA: IP-адреса, маски и адреса файлов

Дано: IP-адрес 172.16.168.0, маска M = 255.255.248.0.

Обозначим адрес сети через S. По определению S = A ∧ M: бит маски 1 сохраняет бит адреса, а бит 0 заменяет его нулём. Вычислим каждый октет; в двоичной записи оставляем все восемь разрядов:
Октет 1: 10101100 ∧ 11111111 = 10101100₂ = 172.
Октет 2: 00010000 ∧ 11111111 = 00010000₂ = 16.
Октет 3: 10101000 ∧ 11111000 = 10101000₂ = 168.
Октет 4: 00000000 ∧ 00000000 = 00000000₂ = 0.
Адрес сети S = 172.16.168.0.

В маске p = 21 единиц; свободных разрядов h = 32 − 21 = 11. Первые 21 битов общие для всех адресов сети, а последние 11 битов могут независимо принимать значения 0 и 1. Всего адресов 2¹¹ = 2048.

Число единиц в фиксированной части: w = 8. Пусть k — число единиц в свободной части; тогда во всём IP-адресе ровно w + k единиц. По условию это число не делится на 5.
Обозначим через C(h, k) число способов выбрать k позиций единиц из h свободных позиций. Для каждого такого выбора получается один адрес, поэтому C(h, k) = h!k! · (h − k)!, где 0! = 1. Значения можно последовательно получить из C(h, 0) = 1 по формуле C(h, k + 1) = C(h, k) · (h − k)k + 1.

Проверим все возможные k:
k = 0: w + k = 8; C(11, 0) = 1; подходит.
k = 1: w + k = 9; C(11, 1) = 11; подходит.
k = 2: w + k = 10; C(11, 2) = 55; не подходит.
k = 3: w + k = 11; C(11, 3) = 165; подходит.
k = 4: w + k = 12; C(11, 4) = 330; подходит.
k = 5: w + k = 13; C(11, 5) = 462; подходит.
k = 6: w + k = 14; C(11, 6) = 462; подходит.
k = 7: w + k = 15; C(11, 7) = 330; не подходит.
k = 8: w + k = 16; C(11, 8) = 165; подходит.
k = 9: w + k = 17; C(11, 9) = 55; подходит.
k = 10: w + k = 18; C(11, 10) = 11; подходит.
k = 11: w + k = 19; C(11, 11) = 1; подходит.

Подходящие k: 0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11.
Число адресов = 1 + 11 + 165 + 330 + 462 + 462 + 165 + 55 + 11 + 1 = 1663.

Проверка: сумма C(11, k) по всем строкам равна 2048 — учтены все адреса ровно по одному разу. Отдельный перебор всех 2048 адресов от 172.16.168.0 до 172.16.175.255 и подсчёт единиц также даёт 1663. Вопрос относится ко всем IP-адресам сети: сетевой и широковещательный адреса здесь не исключаются. Уменьшать число адресов на два оснований нет.

Ответ: 1663.