Задание EGEINF7ED88A: Графы, таблицы и маршруты

Решение.
Рисунок и таблица описывают одни и те же дороги. Буквенные обозначения нельзя сопоставлять номерам по положению на рисунке: нужно сохранить связи между пунктами. Пустая клетка означает отсутствие прямой дороги.
Степень вершины — число выходящих из неё дорог. На рисунке: A — 3, B — 3, C — 3, D — 3, E — 3, F — 3, G — 2.
В таблице степени равны: 1 — 3, 2 — 3, 3 — 3, 4 — 3, 5 — 3, 6 — 3, 7 — 2.
Сопоставлять можно только вершины одинаковой степени. Затем сравниваем, с какими группами вершин связаны их соседи; если наборы различаются, соответствие исключаем. Повторяем уточнение, пока группы перестанут делиться.
Уточнение 1: A ∈ {1, 4, 5, 6}; B ∈ {1, 4, 5, 6}; C ∈ {2, 3}; D ∈ {1, 4, 5, 6}; E ∈ {2, 3}; F ∈ {1, 4, 5, 6}; G ∈ {7}.
Уточнение 2: A ∈ {5}; B ∈ {6}; C ∈ {2, 3}; D ∈ {1, 4}; E ∈ {2, 3}; F ∈ {1, 4}; G ∈ {7}.
Уточнение 3: A ∈ {5}; B ∈ {6}; C ∈ {2, 3}; D ∈ {1, 4}; E ∈ {2, 3}; F ∈ {1, 4}; G ∈ {7}.
Внутри оставшихся групп перебираем взаимно однозначные соответствия. Всего вариантов: 4. Для каждого проверяем все пары пунктов: и наличие дороги, и её отсутствие должны совпадать.
A=5, B=6, C=2, D=1, E=3, F=4, G=7: исключаем — на рисунке нет дороги C–D, а в клетке 2–1 отмечена дорога.
Подходит: A=5, B=6, C=2, D=4, E=3, F=1, G=7.
Подходит: A=5, B=6, C=3, D=1, E=2, F=4, G=7.
A=5, B=6, C=3, D=4, E=2, F=1, G=7: исключаем — на рисунке нет дороги C–D, а в клетке 3–4 отмечена дорога.
Для соответствия 1: E–G соответствует 3–7, длина 3; G–C соответствует 7–2, длина 39.
Сумма длин: 3 + 39 = 42.
Для соответствия 2: E–G соответствует 2–7, длина 39; G–C соответствует 7–3, длина 3.
Сумма длин: 39 + 3 = 42.
Во всех допустимых соответствиях искомая величина одинакова и равна 42. Наличие нескольких соответствий, если они есть, поэтому не создаёт неоднозначности ответа.
Проверка первого допустимого соответствия по всем дорогам рисунка: CG → 2–7; GE → 7–3; ED → 3–4; DF → 4–1; FC → 1–2; CA → 2–5; AE → 5–3; AB → 5–6; BF → 6–1; BD → 6–4.
Все перечисленные клетки непусты, а число дорог в таблице равно числу рёбер рисунка. Значит, лишних связей не появилось. Остальные варианты либо прошли ту же проверку, либо исключены указанным противоречием.
Ответ: 42.