Задание EGEINF777B78: Параллельные вычисления

Решение.

В приложенной таблице 12 процессов. Первый столбец содержит их идентификаторы, второй — длительности в миллисекундах, третий — идентификаторы всех необходимых предшественников. Ноль в третьем столбце означает отсутствие предшественников. Типовой пример из условия не заменяет данные файла.

Два приложенных архива содержат одинаковые данные о 12 процессах; расчёт для обоих совпадает.

Начальный момент обозначим 0. Пусть d(B) — длительность процесса B, S(B) — время его начала, F(B) — время окончания. Процесс занимает промежуток от S(B) включительно до F(B) не включительно. Его результат доступен уже в момент F(B); следующий процесс может начаться в этот же момент.

Для самого раннего допустимого запуска используем правила:
S(B) = 0, если предшественников нет;
S(B) = max(F(A)), где максимум берётся по всем предшественникам A;
F(B) = S(B) + d(B).
Длительности разных предшественников не складываем: они могут работать параллельно. Но ждать требуется завершения каждого, поэтому выбираем самое позднее окончание. Строки вычисляем после их предшественников, даже если в файле они расположены в другом порядке.

Эти времена достижимы одновременным запуском всех готовых процессов. Раньше запустить очередной процесс нельзя: хотя бы один необходимый результат ещё отсутствует. Последовательно применяя это рассуждение по зависимостям, получаем минимальные времена окончания каждого процесса.

Проверка зависимостей и длительностей. Полный расчёт самого раннего расписания, все времена в мс:

Здесь требуется увеличить непрерывный интервал параллельной работы. Самые ранние запуски не обязательны: можно задерживать процессы, соблюдая зависимости и не прерывая начавшийся процесс. Поэтому таблица ранних окончаний сама по себе ещё не даёт искомого максимума.

Разделим граф на независимые компоненты. Процессы 101–107 дают не более 3 одновременных работ. Процессы 108–112 дают не более 2 одновременных работ. В первой компоненте возможны только тройки {102, 103, 107} и {102, 105, 106}. Во второй после 108 идут две последовательные ветви 109 → 110 и 111 → 112, каждая даёт не более одного активного процесса. Поэтому во всей системе одновременно может работать не более 5 процессов. Ниже построено расписание, где это число достигается.

Обоснуем верхнюю границу длительности. Три параллельных процесса первой компоненты возможны только в наборах {102,103,107} и {102,105,106}. Между этими стадиями обязательно выполняется 104, когда параллельно с ним может идти только 102. Поэтому непрерывный интервал максимальной загрузки не пересекает обе стадии. На первой он не длиннее min(15,16,7)=7 мс, на второй — min(15,13,4)=4 мс. Общая граница 7 мс.

Построим расписание, достигающее этой границы. Каждый процесс идёт без остановок, а его начало не раньше окончания любого предшественника:

На всём промежутке [18; 25) одновременно работают 5 процессов. При завершении одного процесса другой может сразу занять его место; разрыва параллельной работы нет:

Длина промежутка 25 − 18 = 7 мс. Она совпадает с доказанной верхней границей.

Ответ: 7.