ФИПИ · ЕГЭ · все форматы ответа · 2475 заданий
Тип задачи: Игры и выигрышные стратегии.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 231. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 231 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче S камней; 1 ≤ S ≤ 213.
| КЭС: | 2.13 Графы. Основные понятия. Виды графов. Описание графов с помощью матриц смежности, весовых матриц, списков смежности. Решение алгоритмических задач, связанных с анализом графов (построение оптимального пути между вершинами графа, определение количества различных путей между вершинами ориентированного ациклического графа) 2.14 Деревья. Бинарное дерево. Деревья поиска. Способы обхода дерева. Представление арифметических выражений в виде дерева. Использование графов и деревьев при описании объектов и процессов окружающего мира 3.2 Оценка сложности вычислений. Время работы и объём используемой памяти, их зависимость от размера исходных данных. Оценка асимптотической сложности алгоритмов. Алгоритмы полиномиальной сложности. Переборные алгоритмы. Примеры различных алгоритмов решения одной задачи, которые имеют различную сложность 3.3 Определение возможных результатов работы простейших алгоритмов управления исполнителями и вычислительных алгоритмов. Определение исходных данных, при которых алгоритм может дать требуемый результат 3.10 Массивы и последовательности чисел. Вычисление обобщённых характеристик элементов массива или числовой последовательности (суммы, произведения, среднего арифметического, минимального и максимального элементов, количества элементов, удовлетворяющих заданному условию). Линейный поиск заданного значения в массиве. Алгоритмы работы с элементами массива с однократным просмотром массива. Сортировка одномерного массива. Простые методы сортировки (метод пузырька, метод выбора, сортировка вставками). Сортировка слиянием. Быстрая сортировка массива (алгоритм QuickSort). Двоичный поиск в отсортированном массиве 3.11 Двумерные массивы (матрицы). Алгоритмы обработки двумерных массивов: заполнение двумерного числового массива по заданным правилам, поиск элемента в двумерном массиве, вычисление максимума (минимума) и суммы элементов двумерного массива, перестановка строк и столбцов двумерного массива 3.12 Словари (ассоциативные массивы, отображения). Хэш-таблицы. Построение алфавитно-частотного словаря для заданного текста 3.13 Стеки. Анализ правильности скобочного выражения. Вычисление арифметического выражения, записанного в постфиксной форме. Очереди. Использование очереди для временного хранения данных 3.14 Алгоритмы на графах. Построение минимального остовного дерева взвешенного связного неориентированного графа. Количество различных путей между вершинами ориентированного ациклического графа. Алгоритм Дейкстры 3.15 Деревья. Реализация дерева с помощью ссылочных структур. Двоичные (бинарные) деревья. Построение дерева для заданного арифметического выражения. Рекурсивные алгоритмы обхода дерева. Использование стека и очереди для обхода дерева |
| Тип ответа: | Краткий ответ |
Ответ: 98 106
Решение.
Позицию обозначим (x; y): это числа камней в двух кучах. Цель хода — получить x + y ≥ 231.
За ход к одной из куч прибавляется 1 или её размер умножается на 2. Меняется только одна куча; первый ход делает Петя.
Обозначим через В1 позицию, где текущий игрок может выиграть одним ходом; через П1 — позицию, из которой любой ход передаёт сопернику позицию В1, а немедленно выиграть нельзя.
Для двух куч условие В1 имеет вид max(2x + y; x + 2y; x + y + 1) ≥ 231.
Петя выигрывает ровно своим вторым ходом, если исходная позиция не В1, а одним первым ходом можно передать Ване позицию П1. Это условие и необходимое, и достаточное.
Переберём четыре возможных первых хода. Для П1 проверяем отсутствие завершающей команды и наличие выигрыша В1 после каждого из четырёх ответов Вани. Полные множества подходящих S для каждого выбора:
Для проверки полноты выразим обе координаты после каждого хода как k · S + b. Условие немедленной победы — хотя бы одна из сумм после следующей команды не меньше порога. Каждое неравенство с положительным k даёт целую нижнюю границу S; берём минимум этих границ. Для П1 все четыре ответа должны принадлежать В1, поэтому берём максимум четырёх полученных границ. Отсутствие собственного выигрыша задаёт верхнюю границу.
Прибавить 1 к первой куче: нижние границы для четырёх ответов 106, 98, 106, 54; значит S ≥ 106. Из отсутствия немедленной победы следует S ≤ 106. Получаем S = 106.
Умножить первую кучу на 2: нижние границы для четырёх ответов 98, 82, 98, 50; значит S ≥ 98. Из отсутствия немедленной победы следует S ≤ 98. Получаем S = 98.
Прибавить 1 ко второй куче: нижние границы для четырёх ответов 106, 98, 105, 53; значит S ≥ 106. Из отсутствия немедленной победы следует S ≤ 105. Границы несовместимы, подходящих значений нет.
Умножить вторую кучу на 2: нижние границы для четырёх ответов 54, 50, 53, 27; значит S ≥ 54. Из отсутствия немедленной победы следует S ≤ 53. Границы несовместимы, подходящих значений нет.
При S = 98 Петя переводит (17; 98) в (34; 98). Все ответы Вани и завершающие ходы Пети:
Ваня получает (35; 98); Петя получает (35; 196), сумма 231 ≥ 231.
Ваня получает (68; 98); Петя получает (136; 98), сумма 234 ≥ 231.
Ваня получает (34; 99); Петя получает (34; 198), сумма 232 ≥ 231.
Ваня получает (34; 196); Петя получает (35; 196), сумма 231 ≥ 231.
При S = 106 Петя переводит (17; 106) в (18; 106). Все ответы Вани и завершающие ходы Пети:
Ваня получает (19; 106); Петя получает (19; 212), сумма 231 ≥ 231.
Ваня получает (36; 106); Петя получает (36; 212), сумма 248 ≥ 231.
Ваня получает (18; 107); Петя получает (18; 214), сумма 232 ≥ 231.
Ваня получает (18; 212); Петя получает (19; 212), сумма 231 ≥ 231.
Проверка: на первых двух общих ходах сумма меньше порога во всех перечисленных ветвях. Каждый третий ход достигает порога. Перебор первых команд охватил всю разрешённую область S, поэтому меньших подходящих значений нет.
Ответ: 98 106.
Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании EGEINF6D762A.
Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.
Комментарии к решению
Комментарии видны всем посетителям сайта.
Комментариев пока нет. Будьте первым.
Чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.