ФИПИ · ЕГЭ · все форматы ответа · 2475 заданий
Тип задачи: Игры и выигрышные стратегии.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– добавить в одну из куч (по своему выбору) 1 камень;
– увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза.
Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (21, 30), (20, 31), (60, 30), (20, 90).
Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 155. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 155 камней
или больше. В начальный момент в первой куче было 15 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 139.
| КЭС: | 2.15 Дискретные игры двух игроков с полной информацией. Построение дерева перебора вариантов, описание стратегии игры в табличной форме. Выигрышные и проигрышные позиции. Выигрышные стратегии |
| Тип ответа: | Краткий ответ |
Ответ: 19 46
Решение.
Начальная позиция — (15; S), где 1 ≤ S ≤ 139. За ход меняется одна выбранная куча: к ней добавляют 1 камень или увеличивают её в 3 раза. Игра заканчивается, как только сумма двух куч достигает 155 или превышает это число. Петя ходит первым.
Из позиции (a; b) разрешены четыре перехода: (a + 1; b), (a; b + 1), (3a; b), (a; 3b). Порядок куч сохраняем во всех таблицах.
Рассматриваем позицию с точки зрения игрока, которому сейчас ходить. Введём четыре класса позиций. W₁ — можно закончить игру следующим ходом. L₁ — любой разрешённый ход передаёт сопернику позицию W₁, поэтому соперник гарантированно выигрывает своим первым ходом.
Для (a; b) условие W₁ проверяется по получающимся суммам: a + b + 1, 3a + b, a + 3b. Два хода добавления дают одинаковую сумму. Достаточно, чтобы хотя бы одна из этих сумм была не меньше 155.
W₂ — выиграть за один ход нельзя, но есть ход в L₁. После такого хода соперник вынужден передать позицию W₁, и игрок завершает игру своим вторым ходом. Проверка здесь состоит из существования одного подходящего собственного хода и проверки всех ответов противника.
L₂ — позиция не относится к L₁, а каждый разрешённый ход ведёт в W₁ или W₂. Тогда соперник гарантирует победу своим первым либо вторым ходом. Исключение L₁ необходимо: по условию задачи 21 победа первым ходом не должна гарантироваться. Терминальную позицию не относим ни к одному из этих четырёх классов: игра в ней уже закончилась.
Нужные начальные значения S — это позиции W₂. Проверяем допустимые S в порядке возрастания и выбираем первые два подходящих значения.
Результат последовательной проверки всех начальных S от 1 до 139 включительно. Для каждого перехода применяем правила выше; для двух куч проверяем и позиции с изменившейся первой кучей.
| Класс начальной позиции | Значения S |
|---|---|
| W₁ | 47–139 |
| L₁ | нет |
| W₂ | 19, 46 |
| L₂ | 45 |
| Не входит в эти четыре класса | 1–18, 20–44 |
Покажем гарантированную стратегию для найденных значений. Каждая строка таблицы — возможное развитие игры; на ходе противника перечислены все допустимые ответы, на ходе победителя выбран один обеспечивающий победу ход. Знак «—» означает, что игра уже закончилась.
При S = 19:
| Начало | Петя, ход 1 | Ваня, ход 1 | Петя, ход 2 |
|---|---|---|---|
| (15; 19) | (45; 19) | (46; 19) | (138; 19) |
| (15; 19) | (45; 19) | (135; 19) | (136; 19) |
| (15; 19) | (45; 19) | (45; 20) | (135; 20) |
| (15; 19) | (45; 19) | (45; 57) | (135; 57) |
Первым ходом Петя может получить (16; 19), (45; 19), (15; 20), (15; 57). Ни одна из этих позиций не завершает игру. Показанный в таблице первый ход оставляет сопернику позицию L₁, а затем при каждом ответе соперника Петя достигает порога своим вторым ходом.
При S = 46:
| Начало | Петя, ход 1 | Ваня, ход 1 | Петя, ход 2 |
|---|---|---|---|
| (15; 46) | (16; 46) | (17; 46) | (17; 138) |
| (15; 46) | (16; 46) | (48; 46) | (144; 46) |
| (15; 46) | (16; 46) | (16; 47) | (16; 141) |
| (15; 46) | (16; 46) | (16; 138) | (17; 138) |
Первым ходом Петя может получить (16; 46), (45; 46), (15; 47), (15; 138). Ни одна из этих позиций не завершает игру. Показанный в таблице первый ход оставляет сопернику позицию L₁, а затем при каждом ответе соперника Петя достигает порога своим вторым ходом.
Проверка: все переходы в таблицах разрешены условием, игра нигде не продолжается после достижения порога, а каждая конечная позиция получена ходом нужного игрока. Независимый перебор дерева игры до второго хода каждого игрока подтвердил те же классы для всех проверенных S и все ветви приведённых стратегий.
Следовательно, два наименьших подходящих значения — 19 и 46.
Ответ: 19 46.
Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании EGEINF5CEA18.
Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.
Комментарии к решению
Комментарии видны всем посетителям сайта.
Комментариев пока нет. Будьте первым.
Чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.