Задание EGEINF551280: Системы счисления и арифметика

Решение.
1. Приведём выражение к одному основанию.
N = 2 ∙ 729²⁰¹⁴ + 2 ∙ 243²⁰¹⁶ – 2 ∙ 81²⁰¹⁸ + 2 ∙ 27²⁰²⁰ – 2 ∙ 9 ²⁰²² – 2024.
Основание записи: b = 27.
В позиционной системе вес каждой цифры зависит от её места. Крайний справа разряд имеет номер 0 и вес 1; при движении влево вес каждый раз умножается на основание. Значение записи равно сумме произведений цифр на веса разрядов. Индекс у числа обозначает основание и не является частью числа.
Слагаемое 2 · 729²⁰¹⁴ = 2 · 27⁴⁰²⁸.
Слагаемое +2 · 243²⁰¹⁶ = 2 · 27³³⁶⁰.
Слагаемое −2 · 81²⁰¹⁸ = -18 · 27²⁶⁹⁰.
Слагаемое +2 · 27²⁰²⁰ = 2 · 27²⁰²⁰.
Слагаемое −2 · 9²⁰²² = -2 · 27¹³⁴⁸.
Слагаемое −2024 = -2024 · 27⁰.
2. Выполним переносы и заимствования по разрядам.
Для каждого коэффициента c записываем c = 27 · q + r, где 0 ≤ r ≤ 26. В текущем разряде остаётся r, а q прибавляется к следующему коэффициенту. Отрицательное q означает заимствование. Начинаем с разряда 0 и идём влево; каждый шаг сохраняет значение N.
После всех переносов старший ненулевой разряд имеет номер 4028. Получаем следующие блоки цифр; диапазоны перечислены от старших разрядов к младшим.
Разряды 4028…4028: цифра 2; количество 4028 − 4028 + 1 = 1.
Разряды 4027…3361: цифра 0; количество 4027 − 3361 + 1 = 667.
Разряды 3360…3360: цифра 1; количество 3360 − 3360 + 1 = 1.
Разряды 3359…2691: цифра 26; количество 3359 − 2691 + 1 = 669.
Разряды 2690…2690: цифра 9; количество 2690 − 2690 + 1 = 1.
Разряды 2689…2021: цифра 0; количество 2689 − 2021 + 1 = 669.
Разряды 2020…2020: цифра 1; количество 2020 − 2020 + 1 = 1.
Разряды 2019…1349: цифра 26; количество 2019 − 1349 + 1 = 671.
Разряды 1348…1348: цифра 24; количество 1348 − 1348 + 1 = 1.
Разряды 1347…3: цифра 26; количество 1347 − 3 + 1 = 1345.
Разряды 2…2: цифра 24; количество 2 − 2 + 1 = 1.
Разряды 1…1: цифра 6; количество 1 − 1 + 1 = 1.
Разряды 0…0: цифра 1; количество 0 − 0 + 1 = 1.
3. Подсчитаем нужные цифры.
Учитываем цифры с числовым значением больше 9.
Количество выбранных цифр: 669 + 671 + 1 + 1345 + 1 = 2687.
Проверка. Все диапазоны смежные и не пересекаются: каждый разряд учтён ровно один раз.
Всего разрядов: 1 + 667 + 1 + 669 + 1 + 669 + 1 + 671 + 1 + 1345 + 1 + 1 + 1 = 4029.
Каждая полученная цифра лежит от 0 до 26; старшая цифра ненулевая. Поэтому ведущие незначащие нули в подсчёт не попали. Обратное сложение цифр с их разрядными весами восстанавливает исходное выражение.

Ответ: 2687.